Pada dasarnya turunan merupakan limit suatu fungsi. Jadi, untuk memilih turunan fungsi trigonometri sanggup dicari dengan memakai konsep limit fungsi sebagai berikut
Untuk memahami konsep tersebut silahkan anda perhatikan pola soal berikut.
Contoh soal 1
Tentukan turunan dari f(x) = sin ax.
Penyelesaian
Untuk mengerjakan soal ini anda harus mengingat konsep dasar dari trigonometri yakni:
sin A – sin B = 2 cos ½ (A + B)sin ½ (A – B)
dan juga harus ingat konsep dasar dari limit tri gonometri yakni:
maka
Contoh soal 2
Tentukan turunan dari f(x) = cos ax
Penyelesaian
Untuk mengerjakan soal ini anda harus mengingat konsep dasar dari trigonometri yakni:
cos A – cos B = -2 sin ½ (A + B)sin ½ (A – B)
dan juga harus ingat konsep dasar dari limit tri gonometri yakni:
maka
Contoh soal 3
Tentukan turunan dari f(x) = tan ax
Penyelesaian
Untuk mengerjakan soal ini anda harus mengingat konsep dasar dari trigonometri yaitu bahwa
dan juga harus ingat konsep dasar turunan fungsi yang berbentuk y = u/v yaitu bahwa:
maka
misal:
u = sin ax => u′ = acos ax
v = cos ax => v′ = - asin ax
maka:
maka:
Contoh soal 4
Tentukan turunan dari f(x) = cot ax
Untuk mengerjakan soal ini anda harus mengingat konsep dasar dari trigonometri yaitu bahwa
dan juga harus ingat konsep dasar turunan fungsi yang berbentuk y = u/v yaitu bahwa:
y = u/v
y' =
maka
misal:
u = cos ax => u′ = - asin ax
v = sin ax => v′ = acos ax
maka:
maka:
Contoh soal 5
Tentukan turunan dari f(x) = sec ax
Untuk mengerjakan soal ini anda harus mengingat konsep dasar dari trigonometri yaitu bahwa
sec A = 1/cos A = (cos A)-1
dan juga harus ingat konsep dasar turunan fungsi yang berbentuk y = un yaitu bahwa:
y = un
y' = n.u'.un-1
maka
f(x) = sec ax
f(x) = 1/cos ax
f(x) = (cos ax)-1
misal:
u = cos ax => u′ = -a sin ax
f ′(x) = n.u'.un-1
f ′(x) = -1 (-a sin ax)( cos ax)-1-1
f ′(x) = asin ax. (cos ax)-2
f ′(x) = asin ax/(cos ax)2
f ′(x) = asin ax/((cos ax)(cos ax))
f ′(x) = a tan ax /cos ax
f ′(x) = a tan ax . sec ax
Contoh soal 6
Tentukan turunan dari f(x) = cosec ax
Untuk mengerjakan soal ini anda harus mengingat konsep dasar dari trigonometri yaitu bahwa
cosec A = 1/sin A = (sin A)-1
cos A/sin A = cot A
dan juga harus ingat konsep dasar turunan fungsi yang berbentuk y = un yaitu bahwa:
y = un
y' = n.u'.un-1
maka
f(x) = cosec ax
f(x) = 1/sin ax
f(x) = (sin ax)-1
misal:
u = sin ax => u′ = a cos ax
maka:
maka:
f ′(x) = n.u'.un-1
f ′(x) = -1 (a cos ax)(sin ax)-1-1
f ′(x) = -a cos ax. (sin ax)-2
f ′(x) = -a cos ax/(sin ax)2
f ′(x) = -a cos ax/((sin ax)(sin ax))
f ′(x) = -a cot ax /sin ax
f ′(x) = -a cot ax. cosec ax
Bedasarkan pola soal 1 hingga 6 maka sanggup ditarik kesimpulan bahwa:
Jika y = sin ax, maka y' = acos ax
Jika y = acos ax, maka y' = –asin ax
Jika y = tan ax, maka y' = a sec2 ax
Jika y = cot ax, maka y' = –a cosec2 ax
Jika y = sec ax, maka y' = a sec ax tan ax
Jika y = cosec ax, maka y' = acosec ax cot ax
dalam hal ini a merupakan sebuah konstanta (bilangan konstan)
Selain itu turunan fungsi trigonometri nengikuti hukum turunan fungsi berbentuk perkalian (y = u.v), berbentuk pembagian (y = u/v) dan berebntuk pangkat (y = un). Sebagai pola perhatikan soal berikut ini.
Contoh Soal 1
Tentukan turunan pertama fungsi f(x) = sin 10x
Penyelesaian:
f(x) = sin 10x
f ′(x) = 10 cos 10x
Contoh Soal 2
Tentukan turunan pertama fungsi f(x) = 10 sin ( ½ x + 6)
Penyelesaian:
f(x) = 10 sin ( ½ x + 6)
f ′(x) = 10. ½ cos ( ½ x + 6)
f ′(x) = 5 cos ( ½ x + 6)
Contoh Soal 3
Tentukan turunan pertama fungsi f(x) = x2 sec x.
Penyelesaian:
Untuk menjawab soal ini maka anda kembali meningat konsep turunan dalam bentuk y = u.v.
misal:
u = x2 => u′ = 2x
v = sec x => v ′ = sec x tan x
maka:
f(x) = u.v.
f′(x) = u' v + u v'.
f ′(x) = 2x. sec x + x2 sec x tan
