Sebelumnya admin sudah membahas ihwal kecepatan sesaat dalam satu dimensi dan kecepatan sesaat dua dimensi yang diturunkan (didiferensialkan) dari fungsi vektor posisi. Nah kini Mafia Online, akan membahas cara memilih posisi suatu partikel dengan menurunkan fungsi kecepatannya. Konsep dasar yang kau harus kuasai dalam memahami bahan ini ialah konsep intergral.
Integral merupakan kebalikan dari turunan (diferensial). Adapun rumus integral secara matematis adalah:
r = ∫xn dx
r = (xn+1)/1+n
Untuk memantapkan pemahaman konsep integral silahkan simak pola soal di bawah ini.
r = ∫8t3 dt
r = (8tn+1)/1+n
r = (8t3+1)/1+3
r = (8t4)/4
r = 2t4
Dalam arah sumbu-x, fungsi kecepatan suatu benda sanggup diturunkan dari fungsi posisi yakni:
vx = dx/dt
Bagaimana memilih fungsi posisi dari fungsi kecepatan? Posisi benda sanggup dicari dengan mengintegralkan fungsi kecepatan, silahkan simak uraian berikut.
vx =dx/dt
dx = vx dt
dengan mengintegralkan kedua ruas maka:
∫dx = ∫ vx dt
Batas-batas integral untuk ruas kiri yakni untuk batas atas sebesar x dan batas bawah sebesar x0, sedangkan batas-batas integral untuk ruas kanan yakni untuk batas atas sebesar t dan batas bawah sebesar t0, maka persamaannya menjadi:
∫dx = ∫ vx dt
x – x0 = ∫ vx dt
x = x0 + ∫ vx dt
hal ini berlaku juga untuk sumbu-y, fungsi kecepatan suatu benda sanggup diturunkan dari fungsi posisi yakni:
vy = dy/dt
dy = vy dt
dengan mengintegralkan kedua ruas maka:
∫dy = ∫ vy dt
Batas-batas integral untuk ruas kiri yakni untuk batas atas sebesar y dan batas bawah sebesar y0, sedangkan batas-batas integral untuk ruas kanan yakni untuk batas atas sebesar t dan batas bawah sebesar t0, maka persamaannya menjadi:
∫dy = ∫ vy dt
y – y0 = ∫ vy dt
y = y0 + ∫ vy dt
Dalam hal ini (x0, y0) menyatakan koordinat posisi awal benda, sedangkan (x, y) menyatakan koordinat posisi benda sehabis bergerak dalam selang waktu t. Apabila dituliskan dalam bentuk vektor, posisi benda sanggup dituliskan sebagai berikut
r = xi + yj
dengan memasukan x dan y, maka diperoleh:
r = (x0 + ∫ vx dt)i + (y0 + ∫ vy dt)j
Untuk memantapkan pemahaman kau ihwal cara memilih vektor posisi dari fungsi kecepatan, silahkan simak pola soal di bawah ini.
Contoh Soal
Sebuah partikel bergerak pada bidang xy. Pada posisi awal (x0,y0), partikel berada pada koordinat (4,1) m. Pada sumbu-x kecepatan partikel memenuhi persamaan vx = 5 + 6t dan pada sumbu-y kecepatan partikel memenuhi persamaan vy = 3 + 4t, dengan vx dan vy dalam m/s, dan t dalam sekon. Tentukanlah:
a. persamaan umum vektor posisi partikel,
b. posisi partikel pada ketika t = 2 sekon, dan
c. perpindahan partikel antara t = 1 dan t = 3 sekon.
Penyelesaian:
a. Posisi awal partikel ialah (4,1) m, maka x0 = 4 m dan y0 = 1 m. Dengan demikian persamaan umum vektor posisi partikel yakni:
r = (x0 + ∫ vx dt)i + (y0 + ∫ vy dt)j
r = [4 + ∫(5 + 6t)dt]i + [1 + ∫(3 + 4t)dt]j
r = (4 + 5t + 3t2)i + (1 + 3t + 2t2)j
b. Posisi partikel pada ketika t = 2 sekon yakni:
=> pada sumbu-x
x = 4 + 5t + 3t2
x = 4 + 5.2 + 3.22
x = 4 + 10 + 12
x = 26 m
=> pada sumbu-y
y = 1 + 3t + 2t2
y = 1 + 3.2 + 2.22
y = 1 + 6 + 8
y = 15 m
Jadi, vektor posisi partikel pada ketika t = 2 ialah r = (26i + 15j) m
c. posisi partikel di t = 1 sekon yakni:
r = (4 + 5t + 3t2)i + (1 + 3t + 2t2)j
r1 = (4 + 5.1 + 3.12)i + (1 + 3.1 + 2.12)j
r1 = (12i + 6j) m
posisi partikel di t = 3 sekon yakni:
r = (4 + 5t + 3t2)i + (1 + 3t + 2t2)j
r3 = (4 + 5.3 + 3.32)i + (1 + 3.3 + 2.32)j
r3 = (46i + 28j) m
Perpindahan partikel dari t = 1 sekon sampai t = 3 sekon adalah
Δr = r3 – r1
Δr = (46i + 28j) m – (12i + 6j) m
Δr = (34i + 22j) m
Demikian pembahasan bahan dan pola soal ihwal cara memilih vektor posisi dari fungsi vektor kecepatan. Mohon maaf jikalau ada kata-kata dan perhitungan yang salah dalam postingan ini. Jika ada hambatan dalam memahami bahan ini, silahkan tanyakan pada kolom komentar. Salam durjana => kita niscaya bisa.
