Kita telah ketahui bahwa kedudukan garis terhadap bidang sanggup dibedakan menjadi tiga yakni: garis terletak pada bidang, garis sejajar bidang, dan garis memotong (menembus) bidang. Bagaimana cara mencari besar sudut antara garis dan bidang?
Sekarang perhatikan gambar di bawah ini.
Gambar di atas merupakan kedudukan garis terletak di bidang atau berimpit dengan bidang dan kedudukan garis sejajar dengan bidang. Kita ketahui bahwa bidang yaitu himpunan garis-garis yang anggotanya terdiri dari lebih dari satu buah garis (silahkan baca: pengertian titik, garis dan bidang). Kita juga ketahui bahwa sudut yang dibuat oleh dua buah garis yang sejajar dan garis yang berimpit yaitu 0° (silahkan baca: sudut antara garis dan garis dalam bangkit ruang). Maka sudut yang dibuat oleh garis dan bidang yang saling sejajar dan saling berimpit yaitu 0°.
Sekarang perhatikan gambar di bawah ini.
Pada gambar di atas merupakan sebuah garis g yang menembus bidang ABCD di titik O. Proyeksi gari g akan membentuk garis EF yang berimpit dan sejajar dengan bidang ABCD. Besar sudut yang dibuat oleh garis g dengan bidang ABCD yaitu sudut yang dibuat oleh garis g dengan garis proyeksinya yaitu sebesar β. Jadi, sudut antara garis dan bidang yaitu sudut lancip yang dibuat oleh garis tersebut dengan proyeksinya pada bidang.
Nah untuk memantapkan pemahaman Anda mengenai besar sudut yang dibuat oleh garis dan bidang dalam bangkit ruang dimensi tiga silahkan perhatikan pola soal berikut ini.
Contoh Soal
Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH di bawah ini.
Diketahui panjang rusuk kubus di atas 4 cm, titik P berada di tengah rusuk AB dan titik Q berada di tengah rusuk BC. Jika titik potong garis BD dengan garis PQ yaitu R. (a) Hitunglah besar sudut yang dibuat oleh garis DR dengan bidang HPQ dan hitunglah besar sudut yang dibuat oleh garis HR dengan bidangn FPQ!
Penyelesaian:
(a) Perhatikan gambar di bawah ini.
(a) Perhatikan gambar di bawah ini.
Perhatikan garis DR dan bidang HPQ! Besar sudut yang dibuat oleh garis DR dengan bidang HPQ yaitu α.
Cari panjang PQ dengan teorema phytagoras:
PQ = √(BP2 + BQ2)
PQ = √(22 + 22)
PQ = √(4 + 4)
PQ = 2√2 cm
Cari panjang BR dengan teorema Phytagoras juga dengan siku-siku di R, di mana PR = ½ PQ = √2 cm, maka:
BR = √(BP2 – PR2)
BR = √(22 – (√2)2)
BR = √(4 – 2)
BR = √2 cm
Cari panjang BD dengan rumus diagonal bidang kubus yakni:
BD = s√2
BD = 4√2 cm
Cari panjang DR
DR = BD – BR
DR = 4√2 cm –√2 cm
DR = 3√2 cm
tan α = DH/DR
tan α = 4 cm/(3√2 cm)
tan α = 4√2/6
tan α = 2√2/3
arc tan 2√2/3 = 43,31°
Jadi besar sudut yang dibuat oleh garis DR dengan bidang HPQ yaitu 43,31°.
(b) Perhatikan gambar di bawah ini.
Perhatikan garis HR dan bidang FPQ! Besar sudut yang dibuat oleh garis DR dengan bidang HPQ yaitu β.
Cari panjang PQ dengan teorema phytagoras:
PQ = √(BP2 + BQ2)
PQ = √(22 + 22)
PQ = √(4 + 4)
PQ = 2√2 cm
Cari panjang BR dengan teorema Phytagoras juga dengan siku-siku di R, di mana PR = ½ PQ = √2 cm, maka:
BR = √(BP2 – PR2)
BR = √(22 – (√2)2)
BR = √(4 – 2)
BR = √2 cm
Cari panjang FR, yakni:
FR = √(BR2 + BF2)
FR = √((√2)2 + 42)
FR = √18
FR = 3√2 cm
Cari panjang BD dengan rumus diagonal bidang kubus yakni:
BD = s√2
BD = 4√2 cm
Cari panjang DR
DR = BD – BR
DR = 4√2 cm –√2 cm
DR = 3√2 cm
Cari panjang HR dengan teorema phytagoras juga yakni:
HR = √(DH2 + DR2)
HR = √(42 + (3√2)2)
HR = √34 cm
Cari besar ∠β dengan hukum cosinus yakni:
FH2 = HR2 + FR2 – 2.HR.FR.cos β
(4√2)2 = (√34)2 + (3√2)2 – 2.√34.3√2. cos β
32 = 34 + 18 – 6√68. cos β
32 = 52 – 12√17. cos β
12√17. cos β = 52 – 32
12√17. cos β = 20
cos β = 20/(12√17)
cos β = 5/(3√17)
cos β = (5√17)/51
cos β = 0,4
cos β = 0,4
arc cos 0,4 = 23,6°
Jadi, besar sudut yang dibuat oleh garis HR dengan bidangn FPQ yaitu 23,6°
Demikianlah perihal cara memilih besar sudut yang dibuat oleh garis dan bidang pada bangkit ruang dimensi tiga. Mohon maaf kalau ada kata-kata atau balasan yang salah dalam postingan di atas. Jika ada permasalahan mengenai pembahasan di atas silahkan tanyakan di kolom komentar. Salam Mafia.
